2b^2-4b+1>0 megoldása

$$2 b ^ { 2 } - 4 b + 1 > 0$$

Megoldás a(z) b változóra

$$b\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2b^{2}-4b+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$b=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$b=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 b=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) és b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) és b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) eredménye egyaránt negatív.

$$b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0 b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Tegyük fel, hogy b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) és b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) eredménye egyaránt pozitív.

$$b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$