2x^2-x-3=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } -x-3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-3 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -6.

$$1,-6 2,-3$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-3 b=2$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-x-3) \left(2x^{2}-3x\right)+\left(2x-3\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(2x-3\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) 2x^{2}-3x kifejezésből.

$$x\left(2x-3\right)+2x-3$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-3\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2x-3=0 és x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 2}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{1±5}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±5}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 5.

$$x=\frac{6}{4}$$

A törtet (\frac{6}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±5}{4}). ± előjele negatív. 5 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 elosztása a következővel: 4.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$2x^{2}-x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{3}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

\frac{3}{2} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

A(z) x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$