2x^2-5x+17=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 17 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}). ± előjele negatív. i\sqrt{111} kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 17.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

Ha kivonjuk a(z) 17 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

-\frac{17}{2} és \frac{25}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{4}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$