2x^2-14x-54=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -54 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

14+2\sqrt{157} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}). ± előjele negatív. 2\sqrt{157} kivonása a következőből: 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

14-2\sqrt{157} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 54.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -54 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

-54 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

-14 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

54 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Elosztjuk a(z) -7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 27 és \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$