2x^2-11x-40=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-40 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-16 b=5$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-11x-40) \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Kiemeljük a(z) 2x tényezőt az első, a(z) 5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-8 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-8=0 és 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) -40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 ellentettje 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±21}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 elosztása a következővel: 4.

$$x=8$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±21}{4}). ± előjele negatív. 21 kivonása a következőből: 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

A törtet (\frac{-10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 40.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -40 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

-40 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 20 és \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

A(z) x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{4}.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$