2x^2+x-6=30 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Kivonjuk a(z) 30 értékből a(z) -6 értéket. Az eredmény -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-36 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 1.

$$a=-8 b=9$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}+x-36) \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 9 faktort.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-4=0 és a 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Ha kivonjuk a(z) 30 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

30 kivonása a következőből: -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -36 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±17}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

16 elosztása a következővel: 4.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±17}{4}). ± előjele negatív. 17 kivonása a következőből: -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

A törtet (\frac{-18}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

-6 kivonása a következőből: 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

36 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 18 és \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$