2x^2+5x-7=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +5x-7=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-7 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -14.

$$-1,14 -2,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 5.

$$a=-2 b=7$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}+5x-7) \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±9}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

4 elosztása a következővel: 4.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±9}{4}). ± előjele negatív. 9 kivonása a következőből: -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

A törtet (\frac{-14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$2x^{2}+5x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+5x=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}+5x=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

\frac{7}{2} és \frac{25}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{4}.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$