2x^2+5x-3geq0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +5x-3 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,-3]\cup [\frac{1}{2},\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-5±7}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±7}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+3\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\frac{1}{2} és x+3) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{2} és x+3 eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\frac{1}{2}\leq 0 x+3\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq -3.

$$x\leq -3$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{2} és x+3 eredménye egyaránt ≥0.

$$x+3\geq 0 x-\frac{1}{2}\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \frac{1}{2}.

$$x\geq \frac{1}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq -3\text{; }x\geq \frac{1}{2}$$