2x^2+5x-168=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-168 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 5.

$$a=-16 b=21$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}+5x-168) \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 21 faktort.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-8 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-8=0 és a 2x+21=0.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -168 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1369.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±37}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 elosztása a következővel: 4.

$$x=8$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±37}{4}). ± előjele negatív. 37 kivonása a következőből: -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

A törtet (\frac{-42}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 168.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -168 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

-168 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

168 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 84 és \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{4}.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$