2x^2+5x+3=20 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1,922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4,422144385$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

Ha kivonjuk a(z) 20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

20 kivonása a következőből: 3.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -17 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 136.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és \sqrt{161}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}). ± előjele negatív. \sqrt{161} kivonása a következőből: -5.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

3 kivonása a következőből: 20.

$$2x^{2}+5x=17$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

\frac{17}{2} és \frac{25}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$