2x^2+3x+7=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +3x+7=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}\approx -0,75+1,71391365i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}\approx -0,75-1,71391365i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -56.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-47}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -47.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4}). ± előjele negatív. i\sqrt{47} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$2x^{2}+3x+7-7=-7$$

Ha kivonjuk a(z) 7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+3x=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{7}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{9}{16}$$

-\frac{7}{2} és \frac{9}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{47}{16}$$

A(z) x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{47}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{47}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{47}i}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$