2x^2+3x+1>0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±1}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x+\frac{1}{2} és x+1) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x+\frac{1}{2} és x+1 eredménye egyaránt negatív.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<-1.

$$x<-1$$

Tegyük fel, hogy x+\frac{1}{2} és x+1 eredménye egyaránt pozitív.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$