2x^2+13x-24=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-24 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 13.

$$a=-3 b=16$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}+13x-24) \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 8 faktort.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-3=0 és a x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 13 értéket b-be és a(z) -24 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±19}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -13 és 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

A törtet (\frac{6}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±19}{4}). ± előjele negatív. 19 kivonása a következőből: -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

-32 elosztása a következővel: 4.

$$x=-8$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 24.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -24 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

-24 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

24 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Elosztjuk a(z) \frac{13}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{13}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{13}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{13}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 12 és \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{13}{4}.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$