18x^2-30x+11=0 megoldása

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1,122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0,544658199$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 18 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) 11 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: -72 és 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -792.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

-30 ellentettje 30.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 30 és 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

30+6\sqrt{3} elosztása a következővel: 36.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}). ± előjele negatív. 6\sqrt{3} kivonása a következőből: 30.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

30-6\sqrt{3} elosztása a következővel: 36.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 11.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

Ha kivonjuk a(z) 11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$18x^{2}-30x=-11$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 18.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

A(z) 18 értékkel való osztás eltünteti a(z) 18 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

A törtet (\frac{-30}{18}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

-\frac{11}{18} és \frac{25}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{6}.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$