18x^2+33x=180 megoldása

$$18 x ^ { 2 } + 33 x = 180$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$18x^{2}+33x=180$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 180.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Ha kivonjuk a(z) 180 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 18 értéket a-ba, a(z) 33 értéket b-be és a(z) -180 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: -72 és -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Összeadjuk a következőket: 1089 és 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -33 és 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

-33+3\sqrt{1561} elosztása a következővel: 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}). ± előjele negatív. 3\sqrt{1561} kivonása a következőből: -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

-33-3\sqrt{1561} elosztása a következővel: 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$18x^{2}+33x=180$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

A(z) 18 értékkel való osztás eltünteti a(z) 18 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

A törtet (\frac{33}{18}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

180 elosztása a következővel: 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Elosztjuk a(z) \frac{11}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{11}{12}. Ezután hozzáadjuk \frac{11}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

A(z) \frac{11}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{11}{12}.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$