18x^2-9x-5=0 megoldása

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 18x^{2}+ax+bx-5 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -9.

$$a=-15 b=6$$

Átírjuk az értéket (18x^{2}-9x-5) \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) alakban.

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Emelje ki a(z) 3x elemet a(z) 18x^{2}-15x kifejezésből.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 6x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 6x-5=0 és 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 18 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: -72 és -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 ellentettje 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±21}{36}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 9 és 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

A törtet (\frac{30}{36}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±21}{36}). ± előjele negatív. 21 kivonása a következőből: 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

A törtet (\frac{-12}{36}) leegyszerűsítjük 12 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

A(z) 18 értékkel való osztás eltünteti a(z) 18 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

A törtet (\frac{-9}{18}) leegyszerűsítjük 9 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

\frac{5}{18} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

A(z) x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$