16x^2-64x+65=0 megoldása

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) -64 értéket b-be és a(z) 65 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 4096 és -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

-64 ellentettje 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{64±8i}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 64 és 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

64+8i elosztása a következővel: 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{64±8i}{32}). ± előjele negatív. 8i kivonása a következőből: 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

64-8i elosztása a következővel: 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 65.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Ha kivonjuk a(z) 65 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

-64 elosztása a következővel: 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Elosztjuk a(z) -4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -2. Ezután hozzáadjuk -2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{65}{16} és 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-4x+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$