16x^2+8x-3=0 megoldása

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 16x^{2}+ax+bx-3 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 8.

$$a=-4 b=12$$

Átírjuk az értéket (16x^{2}+8x-3) \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right) alakban.

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4x-1=0 és a 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±16}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -8 és 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

A törtet (\frac{8}{32}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±16}{32}). ± előjele negatív. 16 kivonása a következőből: -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

A törtet (\frac{-24}{32}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

A törtet (\frac{8}{16}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

\frac{3}{16} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$