16x^2+10x-9=0 megoldása

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 16x^{2}+ax+bx-9 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-8 b=18$$

Átírjuk az értéket (16x^{2}+10x-9) \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right) alakban.

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

A 8x a második csoportban lévő első és 9 faktort.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-1=0 és a 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±26}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

A törtet (\frac{16}{32}) leegyszerűsítjük 16 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±26}{32}). ± előjele negatív. 26 kivonása a következőből: -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

A törtet (\frac{-36}{32}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

A törtet (\frac{10}{16}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{16}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

\frac{9}{16} és \frac{25}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{16}.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$