15x^2-97x+1=0 megoldása

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6,4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0,010325766$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 15 értéket a-ba, a(z) -97 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -97.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 9409 és -60.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

-97 ellentettje 97.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 97 és \sqrt{9349}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}). ± előjele negatív. \sqrt{9349} kivonása a következőből: 97.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$15x^{2}-97x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 15.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

A(z) 15 értékkel való osztás eltünteti a(z) 15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{97}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{97}{30}. Ezután hozzáadjuk -\frac{97}{30} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{97}{30} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

-\frac{1}{15} és \frac{9409}{900} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{97}{30}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$