15x^2-525x-4500=0 megoldása

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 15 értéket a-ba, a(z) -525 értéket b-be és a(z) -4500 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -525.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 275625 és 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

-525 ellentettje 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 525 és 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

525+75\sqrt{97} elosztása a következővel: 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}). ± előjele negatív. 75\sqrt{97} kivonása a következőből: 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

525-75\sqrt{97} elosztása a következővel: 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4500.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -4500 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

-4500 kivonása a következőből: 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

A(z) 15 értékkel való osztás eltünteti a(z) 15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

-525 elosztása a következővel: 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

4500 elosztása a következővel: 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Elosztjuk a(z) -35 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{35}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{35}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{35}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 300 és \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{35}{2}.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$