15x^2+11x+2=0 megoldása

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 15x^{2}+ax+bx+2 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 11.

$$a=5 b=6$$

Átírjuk az értéket (15x^{2}+11x+2) \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) alakban.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Kiemeljük a(z) 5x tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 3x+1=0 és 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 15 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±1}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -11 és 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

A törtet (\frac{-10}{30}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±1}{30}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

A törtet (\frac{-12}{30}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Ha kivonjuk a(z) 2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

A(z) 15 értékkel való osztás eltünteti a(z) 15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Elosztjuk a(z) \frac{11}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{11}{30}. Ezután hozzáadjuk \frac{11}{30} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

A(z) \frac{11}{30} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

-\frac{2}{15} és \frac{121}{900} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

A(z) x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{11}{30}.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$