15b^2-100b-160 megoldása

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Szorzattá alakítás

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

A megoldás lépései

Kiemeljük a következőt: 5.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Vegyük a következőt: 3b^{2}-20b-32. Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3b^{2}+pb+qb-32 alakúvá. A p és q megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Mivel a pq negatív, p és q rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a p+q negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -96.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -20.

$$p=-24 q=4$$

Átírjuk az értéket (3b^{2}-20b-32) \left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right) alakban.

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

A 3b a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) b-8 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Írja át a teljes tényezőkre bontott kifejezést.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -100.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 10000 és 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

-100 ellentettje 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{100±140}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 100 és 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

240 elosztása a következővel: 30.

$$b=8$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{100±140}{30}). ± előjele negatív. 140 kivonása a következőből: 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

A törtet (\frac{-40}{30}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) 8 értéket x_{1} helyére, a(z) -\frac{4}{3} értéket pedig x_{2} helyére.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

A(z) p-\left(-q\right) alakú kifejezések egyszerűsítése p+q alakúvá.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

\frac{4}{3} és b összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

A legnagyobb közös osztó (3) kiejtése itt: 15 és 3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Kiértékelés

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$