15x^2-8x-16 megoldása

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Szorzattá alakítás

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

A megoldás lépései

Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 15x^{2}+ax+bx-16 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-20 b=12$$

Átírjuk az értéket (15x^{2}-8x-16) \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right) alakban.

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±32}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

A törtet (\frac{40}{30}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±32}{30}). ± előjele negatív. 32 kivonása a következőből: 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

A törtet (\frac{-24}{30}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) \frac{4}{3} értéket x_{1} helyére, a(z) -\frac{4}{5} értéket pedig x_{2} helyére.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

A(z) p-\left(-q\right) alakú kifejezések egyszerűsítése p+q alakúvá.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

\frac{4}{3} kivonása a következőből: x: megkeressük a közös nevezőt, majd kivonjuk egymásból a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

\frac{4}{5} és x összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3x-4}{3} és \frac{5x+4}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

A legnagyobb közös osztó (15) kiejtése itt: 15 és 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Kiértékelés

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$