15x^2+4x-4=0 megoldása

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 15x^{2}+ax+bx-4 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 4.

$$a=-6 b=10$$

Átírjuk az értéket (15x^{2}+4x-4) \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) alakban.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Kiemeljük a(z) 3x tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 5x-2=0 és 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 15 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±16}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

A törtet (\frac{12}{30}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{2}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±16}{30}). ± előjele negatív. 16 kivonása a következőből: -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

A törtet (\frac{-20}{30}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

-4 kivonása a következőből: 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

A(z) 15 értékkel való osztás eltünteti a(z) 15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Elosztjuk a(z) \frac{4}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{2}{15}. Ezután hozzáadjuk \frac{2}{15} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

A(z) \frac{2}{15} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

\frac{4}{15} és \frac{4}{225} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

A(z) x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{15}.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$