14x^2+3x-2=0 megoldása

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 14x^{2}+ax+bx-2 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-4 b=7$$

Átírjuk az értéket (14x^{2}+3x-2) \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right) alakban.

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Emelje ki a(z) 2x elemet a(z) 14x^{2}-4x kifejezésből.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 7x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 7x-2=0 és 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 14 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Összeszorozzuk a következőket: -56 és -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±11}{28}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

A törtet (\frac{8}{28}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{2}{7}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±11}{28}). ± előjele negatív. 11 kivonása a következőből: -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

A törtet (\frac{-14}{28}) leegyszerűsítjük 14 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

-2 kivonása a következőből: 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

A(z) 14 értékkel való osztás eltünteti a(z) 14 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

A törtet (\frac{2}{14}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{14} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{28}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{28} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{28} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

\frac{1}{7} és \frac{9}{784} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

A(z) x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{28}.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$