14x^2-29x-15=0 megoldása

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 14x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -29.

$$a=-35 b=6$$

Átírjuk az értéket (14x^{2}-29x-15) \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right) alakban.

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

A 7x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-5=0 és a 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 14 értéket a-ba, a(z) -29 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Összeszorozzuk a következőket: -56 és -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Összeadjuk a következőket: 841 és 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

-29 ellentettje 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{29±41}{28}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 29 és 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

A törtet (\frac{70}{28}) leegyszerűsítjük 14 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{29±41}{28}). ± előjele negatív. 41 kivonása a következőből: 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

A törtet (\frac{-12}{28}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

A(z) 14 értékkel való osztás eltünteti a(z) 14 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{29}{14} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{29}{28}. Ezután hozzáadjuk -\frac{29}{28} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{29}{28} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

\frac{15}{14} és \frac{841}{784} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{29}{28}.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$