13x^2+8x-5=0 megoldása

$$13 { x }^{ 2 } +8x-5=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{13}\approx 0,384615385$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 13x^{2}+ax+bx-5 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=8 ab=13\left(-5\right)=-65$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -65.

$$-1,65 -5,13$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+65=64 -5+13=8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 8.

$$a=-5 b=13$$

Átírjuk az értéket (13x^{2}+8x-5) \left(13x^{2}-5x\right)+\left(13x-5\right) alakban.

$$\left(13x^{2}-5x\right)+\left(13x-5\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) 13x^{2}-5x kifejezésből.

$$x\left(13x-5\right)+13x-5$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 13x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(13x-5\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 13x-5=0 és a x+1=0.

$$x=\frac{5}{13} x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$13x^{2}+8x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 13 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 13\left(-5\right)}}{2\times 13}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 13\left(-5\right)}}{2\times 13}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 13.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-52\left(-5\right)}}{2\times 13}$$

Összeszorozzuk a következőket: -52 és -5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+260}}{2\times 13}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 260.

$$x=\frac{-8±\sqrt{324}}{2\times 13}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 324.

$$x=\frac{-8±18}{2\times 13}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 13.

$$x=\frac{-8±18}{26}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±18}{26}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -8 és 18.

$$x=\frac{10}{26}$$

A törtet (\frac{10}{26}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{13}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±18}{26}). ± előjele negatív. 18 kivonása a következőből: -8.

$$x=-\frac{26}{26}$$

-26 elosztása a következővel: 26.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{13} x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$13x^{2}+8x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$13x^{2}+8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$13x^{2}+8x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$13x^{2}+8x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 13.

$$\frac{13x^{2}+8x}{13}=\frac{5}{13}$$

A(z) 13 értékkel való osztás eltünteti a(z) 13 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x=\frac{5}{13}$$

Elosztjuk a(z) \frac{8}{13} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{4}{13}. Ezután hozzáadjuk \frac{4}{13} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x+\left(\frac{4}{13}\right)^{2}=\frac{5}{13}+\left(\frac{4}{13}\right)^{2}$$

A(z) \frac{4}{13} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x+\frac{16}{169}=\frac{5}{13}+\frac{16}{169}$$

\frac{5}{13} és \frac{16}{169} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x+\frac{16}{169}=\frac{81}{169}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{8}{13}x+\frac{16}{169}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{4}{13}\right)^{2}=\frac{81}{169}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{169}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{4}{13}=\frac{9}{13} x+\frac{4}{13}=-\frac{9}{13}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{4}{13}.

$$x=\frac{5}{13} x=-1$$