120x^2+8000x-92000=0 megoldása

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-2300 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 200.

$$a=-30 b=230$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}+200x-2300) \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 230 faktort.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-10=0 és a 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 120 értéket a-ba, a(z) 8000 értéket b-be és a(z) -92000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Összeszorozzuk a következőket: -480 és -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Összeadjuk a következőket: 64000000 és 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8000±10400}{240}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -8000 és 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

2400 elosztása a következővel: 240.

$$x=10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8000±10400}{240}). ± előjele negatív. 10400 kivonása a következőből: -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

A törtet (\frac{-18400}{240}) leegyszerűsítjük 80 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 92000.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -92000 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

-92000 kivonása a következőből: 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

A(z) 120 értékkel való osztás eltünteti a(z) 120 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

A törtet (\frac{8000}{120}) leegyszerűsítjük 40 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

A törtet (\frac{92000}{120}) leegyszerűsítjük 40 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{200}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{100}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{100}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{100}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

\frac{2300}{3} és \frac{10000}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{100}{3}.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$