12x^2-41x+24=0 megoldása

$$12 x ^ { 2 } - 41 x + 24 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 12x^{2}+ax+bx+24 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-41 ab=12\times 24=288$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 288.

$$-1,-288 -2,-144 -3,-96 -4,-72 -6,-48 -8,-36 -9,-32 -12,-24 -16,-18$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-288=-289 -2-144=-146 -3-96=-99 -4-72=-76 -6-48=-54 -8-36=-44 -9-32=-41 -12-24=-36 -16-18=-34$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -41.

$$a=-32 b=-9$$

Átírjuk az értéket (12x^{2}-41x+24) \left(12x^{2}-32x\right)+\left(-9x+24\right) alakban.

$$\left(12x^{2}-32x\right)+\left(-9x+24\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és -3 faktort.

$$4x\left(3x-8\right)-3\left(3x-8\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-8 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-8\right)\left(4x-3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-8=0 és a 4x-3=0.

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{3}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}-41x+24=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -41 értéket b-be és a(z) 24 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 12\times 24}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 12\times 24}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-48\times 24}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 24.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1152}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 1681 és -1152.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 529.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±23}{2\times 12}$$

-41 ellentettje 41.

$$x=\frac{41±23}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{41±23}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{41±23}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 41 és 23.

$$x=\frac{64}{24}$$

A törtet (\frac{64}{24}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{8}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{41±23}{24}). ± előjele negatív. 23 kivonása a következőből: 41.

$$x=\frac{18}{24}$$

A törtet (\frac{18}{24}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}-41x+24=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 24.

$$12x^{2}-41x+24-24=-24$$

Ha kivonjuk a(z) 24 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}-41x=-24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}-41x}{12}=-\frac{24}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x=-\frac{24}{12}$$

-24 elosztása a következővel: 12.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x=-2$$

Elosztjuk a(z) -\frac{41}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{41}{24}. Ezután hozzáadjuk -\frac{41}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\left(-\frac{41}{24}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{41}{24}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{41}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}=-2+\frac{1681}{576}$$

Összeadjuk a következőket: -2 és \frac{1681}{576}.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}=\frac{529}{576}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{41}{24}\right)^{2}=\frac{529}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{41}{24}=\frac{23}{24} x-\frac{41}{24}=-\frac{23}{24}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{41}{24}.

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{3}{4}$$