12x^2-320x+1600=0 megoldása

$$12 x ^ { 2 } - 320 x + 1600 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$x=20$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -320 értéket b-be és a(z) 1600 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{\left(-320\right)^{2}-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -320.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-48\times 1600}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 1600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-76800}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 102400 és -76800.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{25600}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 25600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±160}{2\times 12}$$

-320 ellentettje 320.

$$x=\frac{320±160}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{320±160}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{320±160}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 320 és 160.

$$x=\frac{480}{24}$$

480 elosztása a következővel: 24.

$$x=20$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{320±160}{24}). ± előjele negatív. 160 kivonása a következőből: 320.

$$x=\frac{160}{24}$$

A törtet (\frac{160}{24}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{20}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1600.

$$12x^{2}-320x+1600-1600=-1600$$

Ha kivonjuk a(z) 1600 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}-320x=-1600$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}-320x}{12}=-\frac{1600}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{320}{12}\right)x=-\frac{1600}{12}$$

A törtet (\frac{-320}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{1600}{12}$$

A törtet (\frac{-1600}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{400}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{80}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{40}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{40}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{40}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{1600}{9}$$

-\frac{400}{3} és \frac{1600}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=\frac{400}{9}$$

A(z) x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{40}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{40}{3}=-\frac{20}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{40}{3}.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$