12x^2-2x+5=0 megoldása

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

2+2i\sqrt{59} elosztása a következővel: 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{59} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

2-2i\sqrt{59} elosztása a következővel: 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

A törtet (\frac{-2}{12}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

-\frac{5}{12} és \frac{1}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{12}.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$