12r^2-11r-15=0 megoldása

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Megoldás a(z) r változóra

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 12r^{2}+ar+br-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-20 b=9$$

Átírjuk az értéket (12r^{2}-11r-15) \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) alakban.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

A 4r a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3r-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3r-5=0 és a 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 ellentettje 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{11±29}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

A törtet (\frac{40}{24}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$r=\frac{5}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{11±29}{24}). ± előjele negatív. 29 kivonása a következőből: 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

A törtet (\frac{-18}{24}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

A törtet (\frac{15}{12}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{24}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

\frac{5}{4} és \frac{121}{576} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Tényezőkre r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{24}.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$