12z^2-7z-12 megoldása

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Szorzattá alakítás

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

A megoldás lépései

Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 12z^{2}+az+bz-12 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-16 b=9$$

Átírjuk az értéket (12z^{2}-7z-12) \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right) alakban.

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

A 4z a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3z-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

-7 ellentettje 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{7±25}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

A törtet (\frac{32}{24}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$z=\frac{4}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{7±25}{24}). ± előjele negatív. 25 kivonása a következőből: 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

A törtet (\frac{-18}{24}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) \frac{4}{3} értéket x_{1} helyére, a(z) -\frac{3}{4} értéket pedig x_{2} helyére.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

A(z) p-\left(-q\right) alakú kifejezések egyszerűsítése p+q alakúvá.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

\frac{4}{3} kivonása a következőből: z: megkeressük a közös nevezőt, majd kivonjuk egymásból a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

\frac{3}{4} és z összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3z-4}{3} és \frac{4z+3}{4}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

A legnagyobb közös osztó (12) kiejtése itt: 12 és 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Kiértékelés

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$