12x^2-5x+6=0 megoldása

$$12 { x }^{ 2 } -5x+6=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24}\approx 0,208333333+0,675719781i$$

$$x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}\approx 0,208333333-0,675719781i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}-5x+6=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 6 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\times 6}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-288}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -288.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-263}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -263.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{263}i}{2\times 12}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{263}i}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{5±\sqrt{263}i}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{263}i}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és i\sqrt{263}.

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{263}i}{24}). ± előjele negatív. i\sqrt{263} kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24} x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}-5x+6=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$12x^{2}-5x+6-6=-6$$

Ha kivonjuk a(z) 6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}-5x=-6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=-\frac{6}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=-\frac{6}{12}$$

A törtet (\frac{-6}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=-\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{24}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{576}$$

-\frac{1}{2} és \frac{25}{576} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=-\frac{263}{576}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=-\frac{263}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{263}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{\sqrt{263}i}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{\sqrt{263}i}{24}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{24}.

$$x=\frac{5+\sqrt{263}i}{24} x=\frac{-\sqrt{263}i+5}{24}$$