12x^2-160x+400=0 megoldása

$$12 { x }^{ 2 } -160x+400 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

$$x=10$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -160 értéket b-be és a(z) 400 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -160.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-48\times 400}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-19200}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 25600 és -19200.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{6400}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 6400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±80}{2\times 12}$$

-160 ellentettje 160.

$$x=\frac{160±80}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{160±80}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{160±80}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 160 és 80.

$$x=\frac{240}{24}$$

240 elosztása a következővel: 24.

$$x=10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{160±80}{24}). ± előjele negatív. 80 kivonása a következőből: 160.

$$x=\frac{80}{24}$$

A törtet (\frac{80}{24}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{10}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 400.

$$12x^{2}-160x+400-400=-400$$

Ha kivonjuk a(z) 400 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}-160x=-400$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}-160x}{12}=-\frac{400}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{160}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

A törtet (\frac{-160}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{400}{12}$$

A törtet (\frac{-400}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{40}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{20}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{20}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{20}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{400}{9}$$

-\frac{100}{3} és \frac{400}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{100}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{10}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{20}{3}.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$