12x^2-102x+160=0 megoldása

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -102 értéket b-be és a(z) 160 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -102.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 10404 és -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

-102 ellentettje 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 102 és 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

102+2\sqrt{681} elosztása a következővel: 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}). ± előjele negatív. 2\sqrt{681} kivonása a következőből: 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

102-2\sqrt{681} elosztása a következővel: 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 160.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Ha kivonjuk a(z) 160 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

A törtet (\frac{-102}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

A törtet (\frac{-160}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{17}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{17}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{17}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{17}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

-\frac{40}{3} és \frac{289}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

A(z) x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{17}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$