12x^2-12^2x+9>0 megoldása

$$12 { x }^{ 2 } - { 12 }^{ 2 } x+9 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\cup \left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6,\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Kiszámoljuk a(z) 12 érték 2. hatványát. Az eredmény 144.

$$12x^{2}-144x+9>0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$12x^{2}-144x+9=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) -144 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-144\right)±\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{141}}{2}+6 x=-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) és x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) és x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) eredménye egyaránt negatív.

$$x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Tegyük fel, hogy x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) és x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) eredménye egyaránt pozitív.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\text{; }x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$