12x^2+36x+27=0 megoldása

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx+9 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 12.

$$a=6 b=6$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}+12x+9) \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right) alakban.

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x+3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) 36 értéket b-be és a(z) 27 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 1296 és -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

A törtet (\frac{-36}{24}) leegyszerűsítjük 12 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 27.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Ha kivonjuk a(z) 27 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

36 elosztása a következővel: 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

A törtet (\frac{-27}{12}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

-\frac{9}{4} és \frac{9}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Tényezőkre x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=-\frac{3}{2}$$