12x^2+32x+5=0 megoldása

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 12x^{2}+ax+bx+5 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 32.

$$a=2 b=30$$

Átírjuk az értéket (12x^{2}+32x+5) \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right) alakban.

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Kiemeljük a(z) 2x tényezőt az első, a(z) 5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 6x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 6x+1=0 és 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) 32 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 1024 és -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-32±28}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -32 és 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

A törtet (\frac{-4}{24}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-32±28}{24}). ± előjele negatív. 28 kivonása a következőből: -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

A törtet (\frac{-60}{24}) leegyszerűsítjük 12 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

A törtet (\frac{32}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Elosztjuk a(z) \frac{8}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{4}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{4}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

-\frac{5}{12} és \frac{16}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

A(z) x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{4}{3}.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$