12x^2+25x-45=0 megoldása

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) 25 értéket b-be és a(z) -45 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 625 és 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -25 és \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}). ± előjele negatív. \sqrt{2785} kivonása a következőből: -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 45.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -45 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

-45 kivonása a következőből: 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

A törtet (\frac{45}{12}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{25}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{25}{24}. Ezután hozzáadjuk \frac{25}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

A(z) \frac{25}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

\frac{15}{4} és \frac{625}{576} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

A(z) x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{25}{24}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$