11=1+20x-49x^2 megoldása

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 11.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

Kivonjuk a(z) 11 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -10.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -49 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 196 és -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -1960.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -1560.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 2i\sqrt{390}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

-20+2i\sqrt{390} elosztása a következővel: -98.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{390} kivonása a következőből: -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

-20-2i\sqrt{390} elosztása a következővel: -98.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 11 értéket. Az eredmény 10.

$$20x-49x^{2}=10$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -49.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

A(z) -49 értékkel való osztás eltünteti a(z) -49 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

20 elosztása a következővel: -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

10 elosztása a következővel: -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{20}{49} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{10}{49}. Ezután hozzáadjuk -\frac{10}{49} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{10}{49} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

-\frac{10}{49} és \frac{100}{2401} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{10}{49}.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$