11y=3y^2-4 megoldása

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y^{2}.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -3y^{2}+ay+by+4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 11.

$$a=12 b=-1$$

Átírjuk az értéket (-3y^{2}+11y+4) \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right) alakban.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Emelje ki a(z) 3y elemet a(z) -3y^{2}+12y kifejezésből.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -y+4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a -y+4=0 és a 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y^{2}.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-11±13}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -11 és 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

A törtet (\frac{2}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-11±13}{-6}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

-24 elosztása a következővel: -6.

$$y=4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y^{2}.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

11 elosztása a következővel: -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

-4 elosztása a következővel: -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

\frac{4}{3} és \frac{121}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Tényezőkre y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{6}.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$