11x^2-10x+13=0 megoldása

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 11 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) 13 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Összeszorozzuk a következőket: -44 és 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

-10 ellentettje 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

10+2i\sqrt{118} elosztása a következővel: 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{118} kivonása a következőből: 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

10-2i\sqrt{118} elosztása a következővel: 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 13.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Ha kivonjuk a(z) 13 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

A(z) 11 értékkel való osztás eltünteti a(z) 11 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{10}{11} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{11}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{11} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{11} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

-\frac{13}{11} és \frac{25}{121} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{11}.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$