105x^2-40x-4=0 megoldása

$$105 { x }^{ 2 } -40x-4=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21}\approx 0,463196592$$

$$x=-\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21}\approx -0,082244211$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$105x^{2}-40x-4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 105 értéket a-ba, a(z) -40 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 105\left(-4\right)}}{2\times 105}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 105\left(-4\right)}}{2\times 105}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 105.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-420\left(-4\right)}}{2\times 105}$$

Összeszorozzuk a következőket: -420 és -4.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1680}}{2\times 105}$$

Összeadjuk a következőket: 1600 és 1680.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3280}}{2\times 105}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3280.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±4\sqrt{205}}{2\times 105}$$

-40 ellentettje 40.

$$x=\frac{40±4\sqrt{205}}{2\times 105}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 105.

$$x=\frac{40±4\sqrt{205}}{210}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{40±4\sqrt{205}}{210}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 40 és 4\sqrt{205}.

$$x=\frac{4\sqrt{205}+40}{210}$$

40+4\sqrt{205} elosztása a következővel: 210.

$$x=\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{40±4\sqrt{205}}{210}). ± előjele negatív. 4\sqrt{205} kivonása a következőből: 40.

$$x=\frac{40-4\sqrt{205}}{210}$$

40-4\sqrt{205} elosztása a következővel: 210.

$$x=-\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21} x=-\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$105x^{2}-40x-4=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$105x^{2}-40x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$105x^{2}-40x=-\left(-4\right)$$

-4 kivonása a következőből: 0.

$$105x^{2}-40x=4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 105.

$$\frac{105x^{2}-40x}{105}=\frac{4}{105}$$

A(z) 105 értékkel való osztás eltünteti a(z) 105 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{105}\right)x=\frac{4}{105}$$

A törtet (\frac{-40}{105}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{8}{21}x=\frac{4}{105}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{21} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{21}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{21} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{21}x+\left(-\frac{4}{21}\right)^{2}=\frac{4}{105}+\left(-\frac{4}{21}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{21} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{21}x+\frac{16}{441}=\frac{4}{105}+\frac{16}{441}$$

\frac{4}{105} és \frac{16}{441} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{21}x+\frac{16}{441}=\frac{164}{2205}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{21}x+\frac{16}{441}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{21}\right)^{2}=\frac{164}{2205}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{21}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{164}{2205}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{21}=\frac{2\sqrt{205}}{105} x-\frac{4}{21}=-\frac{2\sqrt{205}}{105}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{21}.

$$x=\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21} x=-\frac{2\sqrt{205}}{105}+\frac{4}{21}$$