10000x^2+200x=1 megoldása

$$10000 { x }^{ 2 } +200x = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{100}\approx 0,004142136$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{100}\approx -0,024142136$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$10000x^{2}+200x=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$10000x^{2}+200x-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$10000x^{2}+200x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10000 értéket a-ba, a(z) 200 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 10000\left(-1\right)}}{2\times 10000}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 10000\left(-1\right)}}{2\times 10000}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10000.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-40000\left(-1\right)}}{2\times 10000}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40000 és -1.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+40000}}{2\times 10000}$$

Összeadjuk a következőket: 40000 és 40000.

$$x=\frac{-200±\sqrt{80000}}{2\times 10000}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 80000.

$$x=\frac{-200±200\sqrt{2}}{2\times 10000}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10000.

$$x=\frac{-200±200\sqrt{2}}{20000}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-200±200\sqrt{2}}{20000}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -200 és 200\sqrt{2}.

$$x=\frac{200\sqrt{2}-200}{20000}$$

-200+200\sqrt{2} elosztása a következővel: 20000.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{100}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-200±200\sqrt{2}}{20000}). ± előjele negatív. 200\sqrt{2} kivonása a következőből: -200.

$$x=\frac{-200\sqrt{2}-200}{20000}$$

-200-200\sqrt{2} elosztása a következővel: 20000.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{100}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{100} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{100}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$10000x^{2}+200x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10000.

$$\frac{10000x^{2}+200x}{10000}=\frac{1}{10000}$$

A(z) 10000 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10000 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{200}{10000}x=\frac{1}{10000}$$

A törtet (\frac{200}{10000}) leegyszerűsítjük 200 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{1}{50}x=\frac{1}{10000}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{50} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{100}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{100} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{50}x+\left(\frac{1}{100}\right)^{2}=\frac{1}{10000}+\left(\frac{1}{100}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{100} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{50}x+\frac{1}{10000}=\frac{1+1}{10000}$$

\frac{1}{10000} és \frac{1}{10000} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{50}x+\frac{1}{10000}=\frac{1}{5000}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{50}x+\frac{1}{10000}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{100}\right)^{2}=\frac{1}{5000}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{100}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{5000}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{100}=\frac{\sqrt{2}}{100} x+\frac{1}{100}=-\frac{\sqrt{2}}{100}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{100}.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{100} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{100}$$