1000x^2-590x-561=0 megoldása

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 1000x^{2}+ax+bx-561 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -561000.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -590.

$$a=-1100 b=510$$

Átírjuk az értéket (1000x^{2}-590x-561) \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right) alakban.

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Kiemeljük a(z) 100x tényezőt az első, a(z) 51 tényezőt pedig a második csoportban.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 10x-11 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 10x-11=0 és 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1000 értéket a-ba, a(z) -590 értéket b-be és a(z) -561 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -590.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4000 és -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Összeadjuk a következőket: 348100 és 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

-590 ellentettje 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{590±1610}{2000}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 590 és 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

A törtet (\frac{2200}{2000}) leegyszerűsítjük 200 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{11}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{590±1610}{2000}). ± előjele negatív. 1610 kivonása a következőből: 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

A törtet (\frac{-1020}{2000}) leegyszerűsítjük 20 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{51}{100}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 561.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -561 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

-561 kivonása a következőből: 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

A(z) 1000 értékkel való osztás eltünteti a(z) 1000 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

A törtet (\frac{-590}{1000}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{59}{100} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{59}{200}. Ezután hozzáadjuk -\frac{59}{200} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{59}{200} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

\frac{561}{1000} és \frac{3481}{40000} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

A(z) x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{59}{200}.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$