10x^2-x+3=0 megoldása

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0,05+0,545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0,05-0,545435606i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40 és 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -119.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és i\sqrt{119}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}). ± előjele negatív. i\sqrt{119} kivonása a következőből: 1.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$10x^{2}-x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

A(z) 10 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{10} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{20}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{20} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{20} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

-\frac{3}{10} és \frac{1}{400} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{20}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$