10x^2-15x+2=0 megoldása

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1,352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0,147920271$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40 és 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és -80.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

15+\sqrt{145} elosztása a következővel: 20.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}). ± előjele negatív. \sqrt{145} kivonása a következőből: 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

15-\sqrt{145} elosztása a következővel: 20.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

Ha kivonjuk a(z) 2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$10x^{2}-15x=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

A(z) 10 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

A törtet (\frac{-15}{10}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

A törtet (\frac{-2}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

-\frac{1}{5} és \frac{9}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

A(z) x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$