10x^2+7x-12=0 megoldása

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 10x^{2}+ax+bx-12 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=-8 b=15$$

Átírjuk az értéket (10x^{2}+7x-12) \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right) alakban.

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-4=0 és a 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) -12 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40 és -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±23}{20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

A törtet (\frac{16}{20}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±23}{20}). ± előjele negatív. 23 kivonása a következőből: -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

A törtet (\frac{-30}{20}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 12.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

-12 kivonása a következőből: 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

A(z) 10 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

A törtet (\frac{12}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{10} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{20}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{20} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{20} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

\frac{6}{5} és \frac{49}{400} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{20}.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$